Question

已知函數f（x）為二次函數，不等式f（x）+2＜0的解集為，且對任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}滿足，求數列{a_n}的通項公式；
（3）設，在（2）的條件下，若數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式的解集設出f（x）+2的兩根式，對角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函數f（x）的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化簡得到數列{}為等差數列，求出數列{}的通項公式后可求數列{a_n}的通項公式；
（3）由，求出cos（b_nπ），然后分n為偶數和奇數討論求解數列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項和T_n．
解答：解：（1）設f（x）+2=，即．
取，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，則f（1）≤0，f（1）≥0同時成立，
故f（1）=0，解得a=，故；
（2）∵=．
∴3=．
即．故數列{}為等差數列．
∵，∴，；
（3）∵b_n=3n-2，∴
即，∴．
①當n為偶數時，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=．
②當n為奇數時，
．
綜上，．
點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了數列的函數特性，考查了數列的遞推式及數列的和，考查了分類討論的數學思想方法，考查了學生綜合處理和解決問題的能力，是有一定難度題目．