Question

已知函數f（x）=e^|x|-1-ax．
（I）若f（x）是偶函數，求實數a的值；
（Ⅱ）設a＞0，討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）根據f（x）是偶函數，得f（-1）=f（1），解出a=0，再由偶函數的定義加以驗證即可；
（II）根據x≥0和x＜0去絕對值，再用導數研究函數的單調性，可得：當x＜0時，f'（x）＜0恒成立；而當x≥0且0＜a≤

1

e

時，f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立；當x≥0且0＜a≤

1

e

時，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立．由此加以綜合，即可得到函數y=f（x）的單調區間的各種情況．

解答：解：（I）若f（x）是偶函數，則f（-1）=f（1）
可得e^|1|-1-a=e^|-1|-1+a，即1-a=1+a，所以a=0
檢驗：當a=0時，f（x）=e^|x|-1，得f（-x）=e^|-x|-1=e^|x|-1=f（x），符合題意
因此，實數a的值為0；
（II）①當x≥0時，f（x）=e^x-1-ax，可得
f'（x）=e^x-1-a，當x=lna+1時，f'（x）=0．
∴當0＜a≤

1

e

時，有f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上是增函數
當a＞

1

e

時，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立
此時f（x）在（0，lna+1）上是減函數，（lna+1，+∞）上是增函數
②當x＜0時，f（x）=e^-x-1-ax，可得
f'（x）=-e^-x-1-a，可得f'（x）＜0在（-∞，0）上恒成立
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數
綜上所述，當0＜a≤

1

e

時，f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數；
當a＞

1

e

時，f（x）在（-∞，lna+1）上是減函數，在（lna+1，+∞）上是增函數．

點評：本題給出含有指數式且含有絕對值符號的基本初等函數，討論了函數的單調性和奇偶性，著重考查了利用導數研究函數的單調性和函數奇偶性的定義等知識，屬于中檔題．