Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．
（1）當t=2時，求函數f（x）的單調性；
（2）試討論函數f（x）的單調區間；
（3）若t∈（0，2），對于x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=2時，f（x）=（x﹣t）|x|= ，

根據二次函數的圖像與性質可得：

f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增．

（2）解：f（x）= ，

當t＞0時，f（x）的單調增區間為[ ，+∞），（﹣∞，0]，單調減區間為[0， ]，

當t=0時，f（x）的單調增區間為R

當t＜0時，f（x）的單調增區間為[0，+∞），（﹣∞， ]，單調減區間為[ ）

（3）解：設g（x）=f（x）﹣x= ，

x∈[0，2]時，∵ ∈（0，2），∴gmin（x）=g（ ）=﹣

x∈[﹣1，0]時，∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴gmin（x）=﹣t

故只須t∈（0，2），使得： 成立，即 ．

所以a≤﹣

【解析】（1）當t=2時，f（x）=（x﹣t）|x|= ，作出其圖像，利用二次函數的單調性可求函數f（x）的單調性；（2）分t＞0、t=0、t＜0三類討論，可求得函數f（x）的單調區間；（3）設g（x）=f（x）﹣x= ，依題意，可求得gmin（x）=﹣t，只須t∈（0，2），使得： 成立，解之即可求得實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的奇偶性與單調性的綜合，需要了解奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能得出正確答案．