Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A、B為常數．
（1）求A與B的值．
（2）證明數列{a_n}為等差數列．

Answer 1

分析：（1）利用s₁，s₂，s₃，結合（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，推出方程組直接求A與B的值．
（2）利用（1）化簡（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，得到（5n-3）s_n+2-（5n+7）s_n+1=-20n-28，然后利用等差數列的定義，證明數列{a_n}為等差數列．

解答：解：（1）由已知得s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=7，s₃=a₁+a₂+a₃=18

由(5n-8)sn+1-(5n+2)sn=An+B知 -3s2-7s1=A+B 2s3-12s2=2A+B ⇒ A+B=-28 2A+B=-48 ⇒A=-20，B=-8

（2）證明：由（1）知（5n-8）s_n+1-（5n+2）s_n=-20n-8①
所以（5n-3）s_n+2-（5n+7）s_n+1=-20n-28②
②-①得（5n-3）s_n+2-（10n-1）s_n+1+（5n+2）s_n=-20③
所以（5n+2）s_n+3-（10n+9）s_n+2+（5n+7）s_n+1=-20④
④-③得（5n+2）s_n+3-（15n+6）s_n+2+（15n+6）s_n+1-（5n+2）s_n=0
因為a_n+1=s_n+1-s_n，所以（5n+2）a_n+3-（10n+4）a_n+2+（5n+2）a_n+1=0
又因為5n+2≠0，所以a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，即a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1 n≥1，
又a₃-a₂=a₂-a₁=5．∴數列{a_n}為等差數列．

點評：本題是中檔題，考查數列的證明，數列中系數的求法，考查計算能力，注意驗證數列的首項是否滿足數列是等差數列．