Question

考察等式：C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r（*）其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同學用概率論方法證明等式（*）如下：設一批產品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現從中隨機取出r件產品，記事件A_k={取到的件產品中恰有件次品}，則，k=0，1，…，r．顯然A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．對此，有的同學認為上述證明是正確的，體現了偶然性與必然性的統一；但有的同學對上述證明方法的科學性與嚴謹性提出質疑．現有以下四個判斷：
①等式（*）成立；②等式（*）不成立③證明正確；④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號________．

Answer 1

①③
分析：構造概率模型，從中隨機取出r件產品，記事件A_k={取到的產品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根據A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），即可判斷．
解答：設一批產品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件為正品．
現從中隨機取出r件產品，記事件A_k={取到的產品中恰有k件次品}，則取到的產品中恰有k件次品共有種情況，又從中隨機取出r件產品，共有種情況，k=0，1，…，r，故其概率為，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
從而可知正確的序號為：①③
故答案為：①③
點評：本題以概率為依托，證明組合中的等式問題，解題的關鍵是構造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，題目新穎．