Question

是否存在常數a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）對于一切正整數n都成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：先假設存在符合題意的常數a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時，成立即可．
解答：證明：假設存在符合題意的常數a，b，c，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=（a+b+c）①
令n=2，得22=（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，對于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數學歸納法證明：對于一切正整數n，（*）式都成立．
（1）當n=1時，由上述知，（*）成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=（3k²+11k+10），
那么當n=k+1時，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=（3k²+5k+12k+24）
=[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當n=k+1時，（*）式也成立．
綜上所述，當a=3，b=11，c=10時題設的等式對于一切正整數n都成立．
點評：本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數學歸納法的關鍵是遞推環節，要符合假設的模型才能成立．