Question

設函數f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最高點D的坐標為（），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數圖形與x的交點的坐標為（）；
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）當時，求函數f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應的自變量x的值．
（3）將函數y=f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調減區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角函數解析式可知函數的平衡位置在x軸，所以最高點的縱坐標為A=2，又由于三角函數最高點與相鄰的和x軸的交點為周期的四分之一，即=，借此求出周期后可求出ω的值，然后將點（，2）代入函數解析式并結合|φ|＜可求出φ的值．
（2）由題中x的范圍可求出（1）中解析式里2x+的范圍，然后結合正弦函數y=sinx相應區間上的圖象可以確定當2x+=-和2x+=時函數分別有最小值與最大值，并同時解出相應x的取值即可．
（3）由于函數圖象左右平移改變的是橫坐標，為此將函數y=f（x）的圖象向右平移個單位后應用函數解析式中的自變量x，即y=g（x）=2sin[2（x）+]=2sin（2x-），由于求的是函數g（x）的減區間，故用2x-替換正弦函數的減區間即由2kπ≤2x-≤2kπ+，k∈Z解出x后就是所求的減區間．
解答：解：（1）∵由最高點D（，2）運動到相鄰最低點時，函數圖形與x軸的交點為（，0），所以周期的四分之一即=-=，∴T=π，又T=π，∴ω=2，因為函數經過點D的坐標為（），代入函數解析式得2sin（2×+φ）=2，
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，
∴函數的解析式為f（x）=2sin（2x+）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+），當x∈[-，]，2x+∈[-，]
所以2x+=-，即x=-時；函數f（x）有最小值-
2x+=，即x=時；函數f（x）有最大值2
（3）由題意g（x）=f（x-）=2sin[2（x-）+]，
∴g（x）=2sin（2x-）因為正弦函數y=sinx的減區間是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z
所以有2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故函數g（x）的減區間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，
點評：本題主要考查了復合角三角函數的解析式，最值以及圖象變換和單調區間的求法等問題，屬于復合角三角函數的性質的綜合性命題．