Question

已知動點M到兩個定點F₁（-3，0），F₂（3，0）的距離之和為10，A、B是動點M軌跡C上的任意兩點．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若原點O滿足條件，點P是C上不與A、B重合的一點，如果PA、PB的斜率都存在，問k_PA•k_PB是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中，由此能夠推導出點M的軌跡方程．
（2）設A（x，y），B（-x，-y）．設P（5cosθ，4sinθ），，，．A在橢圓上，，，由此能夠推導出k_PA•k_PB為定值-．
解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，
其中，
故點M的軌跡方程為，
（2）設A（x，y），當時，
必有點A、B關于原點O對稱，
∴B（-x，-y）．
設P（5cosθ，4sinθ），
則，，
∴．
∵A在橢圓上，∴，∴，
∴，
∴k_PA•k_PB為定值-．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現不必要的錯誤．