Question

（2011•韶關模擬）某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元/本，經銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為x元/本（9≤x≤11），預計一年的銷售量為（20-x）²萬本．
（1）求該出版社一年的利潤L（萬元）與每本書的定價x的函數關系式；
（2）當每本書的定價為多少元時，該出版社一年的利潤L最大，并求出L的最大值R（m）．

Answer 1

分析：（1）該出版社一年的利潤L（萬元）為每本書的利潤與一年的銷售量的積，故可得函數解析式；
（2）求導函數，確定導數的符號，進而分類討論確定函數的最值．

解答：解：（1）該出版社一年的利潤L（萬元）與每本書定價x的函數關系式為：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．…（4分）
（2）求導函數可得L′（x）=（20-x）（30+2m-3x）．…（6分）
令L′=0得x=10+

2

3

m或x=20（不合題意，舍去）．…（7分）
∵1≤m≤3，∴

32

3

≤10+

2

3

m≤12．
在x=10+

2

3

m兩側L′的值由正變負．
所以①當

32

3

≤10+

2

3

m＜11，即1≤m＜

3

2

時，L_max=L（10+

2

3

m）=4（5-

m

3

）³．…（9分）
②當11≤10+

2

3

m≤12，即

3

2

≤m≤3時，L_max=L（11）=81（6-m），…（11分）
所以R（m）=

4(5- m 3 )3，1≤m＜ 3 2 81(6-m)， 3 2 ≤m≤3

答：若1≤m＜

3

2

，則當每本書定價為10+

2

3

m元時，出版社一年的利潤L最大，最大值R（m）=4（5-

m

3

）³（萬元）；若

3

2

≤m≤3，則當每本書定價為11元時，出版社一年的利潤L最大，最大值R（m）=81（6-m）（萬元）．…（14分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵是確定函數的模型，屬于中檔題．