Question

已知函數f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R），函數f（x）的導函數f′（x）．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若b=0，不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1對于任意的正數x都成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，a+b＜2

3

，且函數f（x）在x=s和x=t處取得極值，試證明：對于曲線上的點A（s，f（s）），B（t，f（t）），向量

OA

與

OB

不可能垂直（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導函數，令導函數大于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數的遞增區間；
（Ⅱ）分離出參數a后，轉化為函數的最值問題解決，注意函數定義域；
（Ⅲ）用反證法來處理．

解答：解：（Ⅰ）當a=b=1時，函數f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，∴f'（x）=3x²-4x+1
由f′（x）＞0，即3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1
故函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，

1

3

)和（1，+∞）；
 （Ⅱ）依題意：當b=0時，f′（x）=3x²-2ax
由于不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1對于任意的正數x都成立，則a≥

2xlnx-3x2-1

2x

恒成立．
令h(x)=

2xlnx-3x2-1

2x

，則h′(x)=

2x-3x2-1

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1，則函數h（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
則h（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，且最大值為h（1）=-2
由此可得a≥-2；
（Ⅲ）（反證法）假設

OA

與

OB

垂直，則

OA

•

OB

=(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0
所以（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²]•[st-（s+t）b+b²]=-1
由函數f（x）在x=s和x=t處取得極值，即s，t是方程3x²-2（a+b）x+ab=0的兩個根，
所以s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

從而有（a²-ab）（b²-ab）=-9，即ab（a-b）²=9（0＜a＜b），
則(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
所以a+b≥2

3

，這與a+b＜2

3

矛盾，故

OA

與

OB

不可能垂直．

點評：本題主要研究利用導數研究函數的單調性及求閉區間上函數的最值以及函數恒成立問題．要求學生掌握導函數的正負與函數單調性的關系，即當導函數值大于0時，函數單調遞增；當導函數小于0時，函數單調遞減．當a≥h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最大值；當a≤h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最小值．