Question

12、已知曲線方程f（x）=sin²x+2ax（a∈R），若對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍是

a＜-1或a＞0

．

Answer 1

分析：先將條件“對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”轉(zhuǎn)化成f'（x）=-1無(wú)解，然后求出2sinxcosx+2a=-1有解時(shí)a的范圍，最后求出補(bǔ)集即可求出所求．

解答：解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線
∴曲線y=f（x）的切線的斜率不可能為-1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=-1無(wú)解
∵0≤sin2x+1=-2a≤2
∴-1≤a≤0時(shí)2sinxcosx+2a=-1有解
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍是a＜-1或a＞0
故答案為：a＜-1或a＞0

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是對(duì)“對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”的理解，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．