Question

如圖，在Rt△PAB中，∠A是直角，PA=4，AB=3，有一個橢圓以P為一個焦點，另一個焦點Q在AB上，且橢圓經過點A、B．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若以PQ所在直線為x軸，線段PQ的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，若經過點Q的直線l將Rt△PAB的面積分為相等的兩部分，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意利用橢圓的定義，求出AQ，推出橢圓的長軸與焦距，即可求橢圓的離心率；
（2）設出橢圓的方程，通過（1）求出a，b，即可得到橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設出經過點Q的直線l的方程，通過直線將Rt△PAB的面積分為相等的兩部分，推出

AC

=3

CP

，求出A的坐標，求出C的坐標，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）因為橢圓以P為一個焦點，另一個焦點Q在AB上，且橢圓經過點A、B，
所以由橢圓的定義知|AP|+|AQ|=|BP|+|BQ|，
因此4+|AQ|=5+（3-|AQ|），解得|AQ|=2．
于是橢圓的長軸長2a=4+2=6，焦距2c=|PQ|=

42+22

=2

5

，
故橢圓的離心率e=

2c

2a

=

2 5

6

=

5

3

．
（2）依題意，可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由（1）知，a=3，c=

5

，∴b=

a2-c2

=2，∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（3）依題意，設直線l的方程為y=k(x-

5

)，
設直線l與PA相交于點C，則S△QAC=

1

2

S△PAB=3，故|AC|=3，|PC|=1，從而

AC

=3

CP

．
設A（x，y），由|AP|=4，|AQ|=2，得

(x+ 5 )2+y2=16 (x- 5 )2+y2=4

，解得A(

3 5

5

，-

4 5

5

)．
設C（x，y），由

AC

=3

CP

，得

x- 3 5 5 =3(- 5 -x) y+ 4 5 5 =-3y

，解得C(-

3 5

5

，-

5

5

)．

∴k=

1

8

，
∴直線l的方程為y=

1

8

(x-

5

)．

點評：本題考查橢圓的基本性質，橢圓方程的求法，直線方程的應用等知識，考查學生分析問題解決問題的能力，計算能力轉化思想的應用．