Question

【題目】已知函數.

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)若在區間上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y＝x（2）a≤

【解析】試題分析：

（1）根據導數的幾何意義求解．（2）當x＝0時，f(0)＝0恒成立；當0＜x≤時分離參數可得在上恒成立，設g(x)＝，x∈(0， ]，利用導數可得函數g(x)的最小值為g()＝，故可得a≤，即為所求范圍．

試題解析：

（1）因為f(x)＝exsinx－ax2，

所以f(x)＝ex(cosx＋sinx)－2ax，

故f(0)＝1．

又f(0)＝0，

故所求切線方程為y＝ x．

（2）①當x＝0時，f(0)＝0在區間上恒成立．

②當0＜x≤時，由得在上恒成立．

令g(x)＝，x∈(0， ]，

則g(x)＝．

令G(x)＝x(sinx＋cosx)－2sinx，x∈(0， ]，

則G(x)＝(cosx－sinx)(x－1)，

故當0＜x＜時，G(x)＜0，G(x)單調遞減；

當＜x＜1時，G(x)＞0，G(x)單調遞增；

當1＜x≤時，G(x)＜0，G(x)單調遞減，

又G(0)＝0，G(1)＝cos1－sin1＜0，

所以G(x)＜0，

所以g(x)＜0，

所以g(x)在(0， ]上單調遞減，

所以g(x)≥g()＝，

故a≤．

綜上實數的取值范圍為．