Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E；
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點；
①設點M（m，0），問：是否存在實數m，使得直線l繞點F₂無論怎樣轉動，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由；
②過P、Q作直線x=

1

2

的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，從而可求軌跡E的方程
（Ⅱ）①斜率存在時，假設直線方程與雙曲線方程聯立．假設存在實數m，使得

MP

•

MQ

=0，故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，從而可求m的值；當直線l的斜率不存在時，知結論也成立．
②利用雙曲線定義，進而表示出λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，根據k²＞3，可求

1

2

＜λ＜

3

3

，注意到直線的斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時λ=

1

2

，故λ∈[

1

2

，

3

3

)．

解答：解：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，∴b²=3，故軌跡E的方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)．…（3分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），

∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，解得k²＞3
（i）∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2…（7分）
假設存在實數m，使得

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．∴當m=-1時，

MP

•

MQ

=0．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結論也成立，
綜上，存在m=-1，使得

MP

•

MQ

=0．
（ii）∵a=1，c=2，∴直線x=

1

2

是雙曲線的右準線，
由雙曲線定義得：|PA|=

1

e

|PF2|=

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF2|，
∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y1|

=

1+k2 |x2-x1|

2|k(x2-x1)|

=

1+k2

2|k|

=

1

2

1+ 1 k2

．
∵k²＞3，∴0＜

1

k2

＜

1

3

，∴

1

2

＜λ＜

3

3

注意到直線的斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時λ=

1

2

，綜上，λ∈[

1

2

，

3

3

)．

點評：本題以雙曲線的定義為載體，主要考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，注意向量條件的轉化．