Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，AA₁=AD=DC=2，M∈平面ABCD，且D₁M⊥平面A₁C₁D，求證：A₁D=DM．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由D₁M⊥平面A₁C₁D可知D₁M₁ ⊥A₁D，由三垂線定理逆定理得到M在面DAA₁D₁上的射影為A，同理M在面DCC₁D₁上的射影為C．利用DM²=DA²+DC²=8 即可求出DM．

解答： 證明：∵D₁M⊥平面A₁C₁D，∴A₁D⊥D₁M，
設(shè)D₁M在面ADD₁A₁上的射影為D₁M₁，
由三垂線定理逆定理，D₁M₁ ⊥A₁D，
∵AA₁=AD=DC=2，∴D₁A⊥A₁D，M₁與A重合．
同理M在面DCC₁D₁上的射影為C．
所以AMCD是正方形，∴DM²=DA²+DC²=8，DM=2

2

．
A₁D=

22+22

=2

2

．
∴A₁D=DM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面，直線和直線的位置關(guān)系，距離的計(jì)算，得出AMCD是正方形是關(guān)鍵．考查空間想象、計(jì)算的能力．