Question

（本小題滿分12分）已知雙曲線C:=1（a＞0，b＞0）的一條準線方程為x=，一個頂點到一條漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）動點P到雙曲線C的左頂點A和右焦點F的距離之和為常數（大于|AF|），且cosAPF的最小值為－，求動點P的軌跡方程.

Answer 1

（1）=1；（2）="1.             "

解：（1）易求得方程為="1.    " 5分
（2）A、F是定點，由圓錐曲線的定義知，點P的軌跡為橢圓.設其長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c=8，在△PAF中，應用余弦定理研究∠APF的余弦，應用基本不等式可知，cosAPF≥1－，
當且僅當|PA|=|PF|=a時取等號，故a²=25，b²=9，求出橢圓中心的坐標為（1，0），則所求方程為="1.   " ………………      12分