Question

如圖，點P是以AB為直徑的圓O上動點，P'是點P關于AB的對稱點，AB=2a（a＞0）．
（Ⅰ）當點P是弧

AB

上靠近B的三等分點時，求

AP

•

AB

的值；
（Ⅱ）求

AP

•

OP′

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知先求出點P的坐標，再利用數量積即可求出；
（Ⅱ）設∠POB=θ，θ∈[0，2π），寫出點p與P^′的坐標，求出

AP

•

AP′

的表達式，再利用二次函數和余弦函數的單調性即可求出其最值．

解答：解：（Ⅰ）以直徑AB所在直線為x軸，以O為坐標原點建立平面直角坐標系．
∵P是弧AB靠近點B的三等分點，
連接OP，則∠BOP=

π

3

，
點P坐標為(

1

2

a，

3

2

a)．
又點A坐標是（-a，0），點B坐標是（a，0），
∴

AP

=(

3

2

a，

3

2

a)，

AB

=(2a，0)，
∴

AP

•

AB

=3a2．
（Ⅱ）設∠POB=θ，θ∈[0，2π），則P（acosθ，asinθ），
P'（acosθ，-asinθ），
∴

AP

=(acosθ+a，asinθ)，

OP′

=(acosθ，-asinθ)．
∴

AP

•

OP′

=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ=a²（2cos²θ+cosθ-1）
=2a2(cos2θ+

1

2

cosθ+

1

16

)-

9

8

a2=2a2(cosθ+

1

4

)2-

9

8

a2．
當cosθ=-

1

4

時，

AP

•

OP′

有最小值-

9

8

a2，
當cosθ=1時，

AP

•

OP′

有最大值2a²．

點評：熟練掌握圓的對稱性、向量的數量積、三角函數和二次函數的單調性是解題的關鍵．