Question

定義在上的函數，對于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有成立，當x＞1時，．
(1)求證：1是函數的零點；
(2)求證：是(0,＋∞)上的減函數；
(3)當時，解不等式．

Answer 1

（3）當a＝0時,解集為；當a＞0時,解集為；
當a＜0時,解集為..

（1）賦值法，求得；（2）注意構造；
（3）由等價于，分類討論.
解：(1)對于任意的正實數m，n都有成立，
所以令m＝n＝1，則．
∴，即1是函數f(x)的零點．                                   (3分)
(2)設0＜x₁＜x₂，則由于對任意正數，
所以，即
又當x＞1時，，而．所以.
從而，因此在(0，＋∞)上是減函數．                  (7分)
(3)根據條件有，
所以等價于．
再由是定義在(0，＋∞)上的減函數，所以0＜ax＋4＜4．即. (9分)
當a＝0時,－4＜0<0不成立，此時不等式的解集為；　　　　　　　　　(10分)
當a＞0時,－4＜ax＜0，即，此時不等式的解集為；
當a＜0時,－4＜ax＜0，即，此時不等式的解集為.(12分)