Question

如圖2-1所示,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長為2a的線段PQ以點A為中點,問與的夾角θ取何值時的值最大?并求出這個最大值.

圖2-1

Answer 1

解法一：如圖,∵⊥,∴·=0.

∵=-,=-,=-,

∴·=(-)·(-)

=·-·-·+·

=-a²-·+·

=-a²+·(-)

=-a²+·

=-a²+a²cosθ.

故當cosθ=1即θ=0(與方向相同)時, ·最大,其最大值為0.

解法二:以直角頂點A為坐標原點,兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示平面直角坐標系.

設|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.

設點P的坐標為(x,y),則點Q(-x,-y).

∴=(x-c,y), =(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).

∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x²+y²)+cx-by.

∵cosθ=

∴cx-by=a²cosθ.

∴·=-a²+a²cosθ.

故當cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時, ·最大,其最大值為0.