Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分別是AC和BB₁的中點．
（1）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面QMN⊥平面A₁B₁C，并求出BQ的長度．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標與向量的坐標，再分別設出兩個平面的法向量，然后利用法向量與平面上的向量數量積等于0，分別求出兩個平面的一個法向量，再根據兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
（2）設Q（t，0，0），由兩個平面垂直得到兩個平面的法向量垂直，再分別求出兩個平面的法向量利用其數量積等于0即可求出t的數值，進而得到答案．

解答：解：如圖建立空間直角坐標系…（1分）
（1）由題意可得：A₁（2，0，2），B₁（0，0，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2）
所以

A1C

=(-2，2，-2)，

A1B1

=(-2，0，0)，

CC1

=(0，0，2)
設平面A₁CB₁的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，平面A₁CC₁的法向量為

m

=(x2，y2，z2)
則有

A1C • n =0 A1B1 • n =0

⇒

-2x1+2y1-2z1=0 -2x1=0

⇒

n

=(0，1，1)（3分）
同理：

A1C • m =0 CC1 • m =0

⇒

-2x2+2y2-2z2=0 -2z2=0

⇒

m

=(1，1，0)（5分）
設二面角B₁-A₁C-C₁為θ，由圖形知此二面角是個銳角
所以cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n || m |

|=

1

2

∴二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°．…（7分）
（2）設Q（t，0，0）…（9分）
∵M（1，1，0），N（0，0，1）
∴

NQ

=(t，0，-1)，

NM

=(1，1，-1)，
設平面QMN的法向量為

u

=(x，y，z)
即有：

NQ • u =0 NM • u =0

⇒

tx-z=0 x+y-z=0

⇒

u

=(1，t-1，t)…（11分）
由（1）可知平面A₁CB₁的法向量為

n

=(0，1，1)
∵平面QMN⊥平面A₁B₁C
∴

u

•

n

=0，即2t-1=0，解得：t=

1

2

，
所以在AB上存在一個點Q，使得平面QMN⊥平面A₁B₁C，并且BQ=

1

2

．…（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用空間向量求空間角的方法，求二面角的關鍵是正確求出平面的法向量，再利用向量之間的有關運算求出向量的夾角，進而把向量的夾角轉化為空間角，本題要注意區分二面角與兩個平面所成的角，本題求的是二面角．