Question

如圖已知點B在以AC為直徑的圓上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（1）證明：SC⊥EF；
（2）若SA=a，∠ASC=

π

4

，∠AFE=

π

6

，求三棱錐S-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）先由AC為圓的直徑，點B在圓上?BC⊥AC．再利用SA⊥平面ABC，BC?平面ABC?AE⊥BC，通過線面垂直的判定定理即可證明AE⊥面SBC，從而有AE⊥SC，通過線面垂直的判定定理即可證明SC⊥面AEF，從而證明結論；（2）由（1）知AE⊥面SBC，在Rt△AEF中，由AF=

2

2

a，∠AFE=

π

6

，求出AE=

2

4

a，EF=

6

4

a，進而求得三角形△AEF的面積
根據已知條件求得AF=SF=

2

2

a，進而求得三棱錐S-AEF的體積．

解答：解：（1）證明：

SA⊥面ABC?SA⊥BC B在以AC為直徑的圓上?BC⊥AB

?BC⊥面SAB ，AE?面SAB

?BC⊥AE．

AE⊥SB BC⊥AE SB∩BC=B

?

AE⊥面SBC SC?面SBC

?AE⊥SC．

AE⊥SC AF⊥SC AE∩AF=A

?

SC⊥面AEF EF?面AEF

?SC⊥EF．（6分）

（2）解：Rt△SAC中，∵SA=a，∠ASC=

π

4

∴AC=a，SC=

2

a
又AF⊥SC，∴F為SC的中點，∴AF=SF=

2

2

a（8分）
由（1）知AE⊥面SBC，∴在Rt△AEF中，由AF=

2

2

a，∠AFE=

π

6

得AE=

2

4

a，EF=

6

4

a，∴S△AEF=

1

2

×

2

4

a×

6

4

a=

3

16

a2（10分）
由（1）知SC⊥面AEF，
∴VS-AEF=

1

3

×

3

16

a2×

2

2

a=

6

96

a3（12分）

點評：此題是個中檔題．考查線面垂直的判定定理和性質定理以及棱錐的體積等基礎知識，同時考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．