Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），甲，乙，丙，丁四位同學有下列結論：
甲：f（3）=1；
乙：函數f（x）在[-6，-2]上是增函數；
丙：函數f（x）關于直線x=4對稱；
丁：若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8．
其中正確的是（　　）

A．甲，乙，丁

B．乙，丙

C．甲，乙，丙

D．甲，丁

Answer 1

分析：取x=1，得f（3）=-f（-3）=1；f（x-4）=f（-x），則f（x-2）=f（-x-2）；奇函數f（x），x∈[-2，2]時，函數為單調增函數，利用函數f（x）關于直線x=-2對稱，可得函數f（x）在[-6，-2]上是減函數；若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結論．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-lo

g

(1+1) 2

=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故甲的結論正確；
定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），∴函數f（x）關于直線x=-2對稱，故丙不正確；
奇函數f（x），x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），∴x∈[-2，2]時，函數為單調增函數，∵函數f（x）關于直線x=-2對稱，∴函數f（x）在[-6，-2]上是減函數，故乙不正確；
若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故丁正確
故選D

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．