Question

已知{a_n}為等比數列，其前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ+a，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列的前n項和求出前3項，利用等比數列的性質列式求出a的值，則首項和公比可求，通項公式可求；
（Ⅱ）把等比數列的通項公式代入b_n=（2n-1）a_n，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+a，∴a₁=S₁=2+a，
a₂=S₂-S₁=（4+a）-（2+a）=2，a₃=S₃-S₂=（8+a）-（4+a）=4．
∵{a_n}為等比數列，∴a22=a1a3，即4=4（2+a），解得a=-1．
∴a₁=1，q=

a2

a1

=2．
則an=a1qn-1=2n-1；
（Ⅱ）把an=2n-1代入b_n=（2n-1）a_n，
得bn=(2n-1)2n-1．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1①
2Tn=1•21+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n②
①-②得：-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n．
∴Tn=(2n-3)•2n+3．

點評：本題考查了等比數列的和的公式和通項公式，訓練了利用錯位相減法求數列的和，考查了學生的計算能力，此題是中檔題．