Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a²+c²-b²=ac．
（1）求B；
（2）若2bcosA=

3

(ccosA+acosC)，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為

13

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，將已知等式代入計(jì)算求出cosB的值，由B為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，由A為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而確定出C為直角，設(shè)|BC|=m，則|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到|CA|與|CB|的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
由B為三角形內(nèi)角，得到B=

π

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡(jiǎn)已知等式得：2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC），
即2sinBcosA=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=

π

6

，
∴C=

π

2

，
設(shè)|BC|=m，則|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，
根據(jù)勾股定理得：（

1

2

m）²+（

3

m）²=（2m）²，
解得：m=2，
則S_△ABC=

1

2

|CA|•|CB|=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．