Question

2011年10月17日，永春一中隆重的舉行105周年校慶，為了搞好接待工作，校慶組委會在高三年級招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖的莖葉圖（單位：cm）．男生身高在175 cm以上（包括175 cm）定義為“高個子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定義為“非高個子”，女生身高在170 cm以上（包括170 cm）定義為“高個子”，身高在170 cm以下（不包括170 cm）定義為“非高個子”且只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”．
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取4人，再從這4人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，請寫出X的分布列，并求X的數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意及莖葉圖，有“高個子”15人，“非高個子”15人，利用用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是

4

30

，利用對立事件即可；
（II）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，利用離散型隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率，有期望的公式求出即可．

解答：解：（I）根據莖葉圖，有“高個子”15人，“非高個子”15人，
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是

4

30

=

2

15

，
所以選中的“高個子”有15×

2

15

=2人，“非高個子”有15×

2

15

=2人．
用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”，則它的對立事件

.

A

表示“沒有一名“高個子”被選中”，
則P（A）=1-

C 3 2

C 2 4

=

5

6

．
因此，至少有一人是“高個子”的概率是

5

6

．
（II）依題意，X的取值為0，1，2，3．　　　　　　　　　　
P（X=0）=

C 3 8

C 3 15

=

8

65

，P（X=1）=

C 2 8 C 1 7

C 3 15

=

28

65

，P（X=2）=

C 1 8 C 2 7

C 3 15

=

24

65

，P（X=3）=

C 3 7

C 3 15

=

1

13

．
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
p	8 65	28 65	24 65	1 13

∴EX=0×

8

65

+1×

28

65

+2×

24

65

+3×

1

13

=

7

5

．

點評：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機事件的概率、對立事件的概率、隨機變量的分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的數據處理能力和應用意識．