Question

（本題總分14分）已知函數(shù)＝ax²+x-3,g(x)=-x+4lnx

h(x)=-g(x)

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)h(x)的極值。

（2）若函數(shù)h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（3）定義：對(duì)于函數(shù)F（x）和G（x），若存在直線l:y=kx+b，使得對(duì)于函數(shù)F（x）和

G（x）各自定義域內(nèi)的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，則稱(chēng)直線l:y=kx+b為函數(shù)F（x）和G（x）的“隔離直線”。則當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)和g(x)是否存在“隔離直線”。若存在，求出所有的“隔離直線”。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）a=1時(shí)，＝，，

的定義域是（0，+∞），

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，遞減

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，遞增

∴x=1時(shí)，h(x)取得極小值h(1)=0,h(x)無(wú)極大值。…………（4分）

（2），x∈(0,+∞)

依題意，方程在（0，+∞）上有兩個(gè)不相等的解。

∴∴-

∴a的取值范圍是（-）…………………………（9分）

（3）設(shè)存在，a=1時(shí)，

由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)=0,此時(shí)，f(1)=g(1)=-1

∴y=與y=g(x)的圖象有唯一的交點(diǎn)A（1，-1）

直線l必過(guò)點(diǎn)A，設(shè)l的方程：y+1=k(x-1),y=kx-k-1

由≥kx-k-1恒成立得x²+(1-k)x+k-2≥0恒成立

∴△＝（1-k）²-4(k-2)=(k-3)²≤0

∴k=3,直線l的方程：y=3x-4………………………………（12分）

以下證明g(x)≤3x-4對(duì)x>0恒成立

令φ（x）＝3x-4-g(x)=4x-4-4lnx

φ`(x)=4-

當(dāng)x∈(0,1)時(shí) , φ`(x)<0, φ(x)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ(x)>0，φ(x)遞增，∴φ(x)的最小值為φ(1)＝0，∴φ(x)≥0恒成立

即g(x)≤3x-4對(duì)x>0恒成立

綜上，和g(x)存在唯一的“隔離直線”：y=3x-4。……（14分）