Question

如圖，設A是由n×n個實數組成的n行n列的數表，其中a_ij（i，j=1，2，3…，n）表示位于第i行第j列的實數，且a_ij∈{1，-1}．記S（n，n）為所有這樣的數表構成的集合．

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
• • •	• • •	…	• • •
an1	an2	…	ann

對于A∈S（n，n），記r_i（A）為A的第i行各數之積，C_j（A）為A的第j列各數之積．令l（A）=

n

i=1

r_i（A）+

n

j=1

C_j（A）．
（Ⅰ）對如下數表A∈S（4，4），求l（A）的值；

1	1	-1	-1
1	-1	1	1
1	-1	-1	1
-1	-1	1	1

（Ⅱ）證明：存在A∈S（n，n），使得l（A）=2n-4k，其中k=0，1，2，…，n；
（Ⅲ）給定n為奇數，對于所有的A∈S（n，n），證明：l（A）≠0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）計算r₁（A）=r₃（A）=r₄（A）=1，r₂（A）=-1；C₁（A）=C₂（A）=C₄（A）=-1，C₃（A）=1，利用定義，可得結論；
（Ⅱ）確定r₁（A）=r₂（A）=…=r_k（A）=-1，C₁（A）=C₂（A）=…=C_k（A）=-1，即可證得結論；
（Ⅲ）用反證法，假設存在A∈S（n，n），其中n為奇數，使得l（A）=0，利用條件引出矛盾．

解答：（Ⅰ）解：r₁（A）=r₃（A）=r₄（A）=1，r₂（A）=-1；C₁（A）=C₂（A）=C₄（A）=-1，C₃（A）=1，
所以l（A）=

4

i=1

r_i（A）+

4

j=1

C_j（A）=0．                         …（3分）
（Ⅱ）證明：（ⅰ）對數表A₀：a_ij（i，j=1，2，3，…，n），顯然l（A₀）=2n．
將數表A₀中的a₁₁由1變為-1，得到數表A₁，顯然l（A₁）=2n-4．
將數表A₁中的a₂₂由1變為-1，得到數表A₂，顯然l（A₂）=2n-8．
依此類推，將數表A_i-1中的a_kk由1變為-1，得到數表A_k．
即數表A_k滿足：a₁₁=a₂₂=…=a_kk=-1（1≤k≤n），其余a_ij=1．
所以r₁（A）=r₂（A）=…=r_k（A）=-1，C₁（A）=C₂（A）=…=C_k（A）=-1．
所以l（A_k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．…（7分）
（Ⅲ）證明：用反證法．
假設存在A∈S（n，n），其中n為奇數，使得l（A）=0．
因為r_i（A）∈{1，-1}，C_j（A）∈{1，-1}（1≤i≤n，1≤j≤n），
所以為r_i（A），C_j（A）（1≤i≤n，1≤j≤n），這2n個數中有n個1，n個-1．
令M=r₁（A）•r₂（A）•…•r_n（A）C₁（A）C₂（A）•…•C_n（A）．
一方面，由于這2n個數中有n個1，n個-1，從而M=（-1）ⁿ=-1．     ①
另一方面，r₁（A）•r₂（A）•…•r_n（A）表示數表中所有元素之積（記這n²個實數之積為m）；C₁（A）C₂（A）•…•C_n（A）也表示m，從而M=m²=1．               ②
①、②相互矛盾，從而不存在A∈S（n，n），其中n為奇數，使得l（A）=0．
即n為奇數時，必有l（A）≠0．                              …（13分）

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，考查反證法的運用，難度較大．