Question

上海某玩具廠生產x套吉祥物“福娃”所需成本費用為P元，且P=1000+5x+

1

10

x2，而每套售出的價格為Q元，其中Q=a+

x

b

(a，b∈R)，
（1）問：該玩具廠生產多少套“福娃”時，使得每套“福娃”所需成本費用最少？
（2）若生產出的“福娃”能全部售出，且當產量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，求a，b的值．（利潤=銷售收入-成本）

Answer 1

分析：（1）建立函數的解析式，再利用基本不等式求函數的最值；
（2）根據利潤=銷售收入-成本，求出利潤函數Qx-P=x(a+

x

b

)-(1000+5x+

x2

10

)=(

1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000，
再利用當產量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，即可求a，b的值

解答：解：（1）由題意，每套“福娃”所需成本費用為

p

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

1

10

x+

1000

x

+5≥2

100

+5=25，
當

1

10

x=

1000

x

，即x=100時，每套“福娃”所需成本費用最少為25元．（6分）
（2）利潤為Qx-P=x(a+

x

b

)-(1000+5x+

x2

10

)=(

1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000（9分）．
由題意，

5-a 2( 1 b - 1 10 ) =150 a+ 150 b =30

（12分）
解得  a=25，b=30．（14分）．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，考查二次函數的最值，確立函數模型是關鍵．