Question

已知點C（4，0）和直線l：x=1，過動點P作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0；
（1）求點P的軌跡方程，
（2）過點C的直線m與點P的軌跡交于兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，點B（1，0），若△BMN的面積為36

5

，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）由|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，知|

PC

|=2|

PQ

|，設P（x，y），代入得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，整理得點P的軌跡方程．
（2）由題知直線m的斜率不為0，且點C（4，0）為雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1 的右焦點，設m的方程為x=ty+4，由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

得（3t²-1）y²+24ty+36=0，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16．由此入手能夠求出直線m的方程．

解答：解：（1）由題|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，∴|

PC

|=2|

PQ

|，
設P（x，y），
代入得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，
整理得點P的軌跡方程為：

x2

4

-

y2

12

=1，（3分）
（2）由題知直線m的斜率不為0，
且點C（4，0）為雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的右焦點，
設m的方程為x=ty+4，由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

得（3t²-1）y²+24ty+36=0，（5分）
易知3t²-1≠0且

y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1

，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，（7分）
由x₁x₂＞0得

3t2+4

3t2-1

＜0?t2＜

1

3

，S△BMN=

1

2

|BC||y1-y2|=

3

2

×

(24t)2-4×36(3t2-1)

|3t2-1|

=

18 1+t2

|3t2-1|

=

18 1+t2

1-3t2

=36

5

，（10分）
解得t2=

1

4

或t2=

19

45

（舍），
∴t2=

1

4

?t=±

1

2

，
直線m的方程為：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．