Question

給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線 ②同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行 ③斜線b在面α內的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b ④異面直線a，b所成的角為60°，過空間一定點P，作直線L，使L與a，b 所成的角均為60°，這樣的直線L有兩條其中真命題是（ ）
A．①③
B．①
C．③④
D．②④

Answer 1

【答案】分析：用反證法證得①正確．②將其中一條異面直線平移與另一條相交確定一個平面，則二直線垂直同一個面，故這2條直線平行，故②不正確．③沒有a在α內這個條件，不符合三垂線定理，故不正確．④這樣的直線L有三條，故④不正確．
解答：解：①若AC、BD不異面，則ABCD共面，這與AB、CD異面矛盾，故①正確．
②將其中一條異面直線平移與另一條相交確定一個平面，則二直線垂直同一個面，故這2條直線平行，故②不正確．
③沒有a在α內這個條件，不符合三垂線定理，故③不正確．
④這樣的直線L有三條，
（如圖所示：a∥a′，a′、b、l₃ 在平面α內，a，l₁，l₂在平面α 外，且l₁，l₂，l₃ 都滿足條件） 
故④不正確，
故選B．

點評：本題主要考查異面直線判定方法，本題主要考查異面直線所成的角的定義，體現了數形結合的數學思想，屬于基礎題．