Question

有以下命題：①若集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，則A∈B；②二項式（2x-3y）⁵的展開式的各項的系數和為2⁵；③已知函數f（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a²-8）x+1在x=1處取得極值，則實數a的值是-2或3；④已知點P（x，y）是拋物線y²=-12x的準線與雙曲線x²-y²=1的兩條漸近線所圍成的三角形區域（含邊界）內的任意一點，則z=2x-y的最大值為9．其中正確命題的序號有

①④

．

Answer 1

分析：求出集合B的元素判斷出①正確；給二項式（2x-3y）⁵中的x，y賦值1得到展開式的各項的系數和為-2⁵，判斷出②不正確
求出f′（x）根據極值的特點得到f′（1）=0，求出a=-2或a=3，將a的值代入導函數驗證，判斷出當a=3時不合題意；判斷出③不正確；求出拋物線的準線，雙曲線的漸近線，利用線性規劃求出z的最大值判斷出④正確．

解答：解：對于①，因為B={x|x⊆A}={∅，{1}，{2}，{1，2}}，所以A∈B，故①正確；
對于②，令二項式（2x-3y）⁵的x=y=1得展開式的各項的系數和為-2⁵，故②不正確；
對于③，因為f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8），因為在x=1處取得極值，所以6-6（a-1）+6（a²-8）=0，所以a=-2或a=3，
當a=-2時，f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8）=6x²+18x-24=6（x-1）（x+4）合題意；
當a=3時，f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8）=6x²-12x+6=6（x-1）²不合題意；故③不正確；
對于④，據題意，拋物線y²=-12x的準線與雙曲線x²-y²=1的兩條漸近線所圍成的三角形區域為：

當直線z=2x-y過（3，-3）時z有最大值，最大值為9，故④正確；
故答案為①④

點評：本題考查通過賦值法求二項展開式的系數和；考查利用導數解決函數的極值問題，考查利用線性規劃求函數的最值問題，屬于中檔題．