Question

【題目】對于函數,若存在區間,使得,則稱函數為“可等域函數”,區間為函數的一個“可等域區間”.給出下列四個函數:

①;

②;

③;

④.

其中存在唯一“可等域區間”的“可等域函數”的序號是________.

Answer 1

【答案】②③

【解析】

根據存在區間,使得,則稱函數為“可等域函數”,區間為函數的一個“可等域區間”,對四個函數逐一判斷,即可得到答案.

對于①,是的可等域區間,但不唯一,故①不成立;

對于②,,且在時遞減,在時遞增,

若,則,故

又,,而,故,故是一個可等域區間;

若,則,解得,,不合題意,

若,則有兩個非負解,但此方程的兩解為和,也不合題意,

函數只有一個等可域區間,故②成立;

對于③,函數的值域是,

,函數在上是增函數,

考察方程,由于函數與只有兩個交點,,

即方程只有兩個解和,

此函數只有一個等可域區間,故③成立;

對于④,函數在定義域上是增函數,

若函數有等可域區間,則,,

但方程無解,故此函數無可等域區間,故④不成立.

綜上所述,只有②③正確.

故答案為:②③.