Question

如圖，在豎直平面內有一個“游戲滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障礙物，自上而下第一行有1個障礙物，第二行有2個障礙物，…，依此類推．一個半徑適當的光滑均勻小球從入口A投入滑道，小球將自由下落，已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點時，向左、右兩邊下落的概率都是．記小球遇到第n行第m個障礙物（從左至右）上頂點的概率為P（n，m）．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表達式（不必證明）；
（Ⅱ）已知f（x）=，設小球遇到第6行第m個障礙物（從左至右）上頂點時，得到的分數為ξ=f（m），試求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點時，向左、右兩邊下落的概率都是，小球遇到第n行第m個障礙物（從左至右）上頂點的概率為P（n，m），可得P（4，1），P（4，2），可以猜想P（n，m）；            
（II）ξ的可能取值為3，2，1，求出相應概率，可得分布列，從而可得期望．
解答：解：（I）根據已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點時，向左、右兩邊下落的概率都是，小球遇到第n行第m個障礙物（從左至右）上頂點的概率為P（n，m），可得P（4，1）==，P（4，2）==
猜想P（n，m）=；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值為3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=，P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）==，P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=
分布列為：

ξ	3	2	1
P

…（10分）
Eξ=3×+2×+1×=．                   …（12分）
點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．