Question

(本小題滿分16分)

已知函數，，.

（1）當時，若函數在區間上是單調增函數，試求的取值范圍；

（2）當時，直接寫出（不需給出演算步驟）函數 （）的單調增區間；

（3）如果存在實數，使函數，（）在

 處取得最小值，試求實數的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）時，增區間，時，減區間 （3）

【解析】

試題分析：（1）函數在區間上是單調增函數

（2）當時，在上是增函數；

當時，在上是增函數.

（3），

根據題意，在區間上恒成立，

即成立

整理得：，

即  ①

當時，不等式①恒成立；

當時，不等式①可化為   ②

令，

根據題設條件，的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區間上的最小值必在區間端點取得，又，所以不等式②恒成立的條件是

即，變量分離得：，③

由條件，存在實數使得③有解，所以，

即，整理得，解得：

又，所以，即實數的最大值是.

考點：求函數的單調區間最值

點評：本題第三問難度較大，對于學生沒有明顯的區分度