Question

設函數f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求實數c的值；
（Ⅱ）判斷是否存在實數b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一個實數根．若存在，求b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行，∴f'（0）=0．
又f'（x）=3x²+2bx+c，則f'（0）=c=0．
（II）由c=0，方程f（x）-b²x=0可化為x³+bx²-b²x+5=0，假設存在實數b使得此方程恰有一個實數根，則令g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_極大值＜0或g（x）_極小值＞0
∴g'（x）=3x²+2bx-b²=（3x-b）（x+b）令g'（x）=0，得x1=

b

3

，x₂=-b
①若b=0，則方程f（x）-b²x=0可化為x³+5=0，此方程恰有一個實根x=

3	5

②若b＞0，則

b

3

＞-b，列表：

x	（-∞，-b）	-b	(-b， b 3 )	b 3	( b 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴g（x）_極大值=g（-b）=b³+5＞0，g(x)極小值=g(

b

3

)=-

5b3

27

+5
∴-

5b3

27

+5＞0，解之得0＜b＜3
③若b＜0，則

b

3

＜-b，列表：

x	(-∞， b 3 )	b 3	( b 3 ，-b)	-b	（-b，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴g(x)極大值=g(

b

3

)=-

5b3

27

+5＞0，g（x）_極小值=g（-b）=b³+5
∴b³+5＞0，解之得b＞-

3	5

∴-

3	5

＜b＜0
綜合①②③可得，實數b的取值范圍是(-

3	5

，3)．