Question

【題目】如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G．

（1）證明：G是AB的中點；
（2）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵P﹣ABC為正三棱錐，且D為頂點P在平面ABC內的正投影，

∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB，

又E為D在平面PAB內的正投影，

∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB，

∵PD∩DE=D，

∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長交AB于點G，

則AB⊥PG，

又PA=PB，

∴G是AB的中點；

（2）

∵正三棱錐P﹣ABC的側面是直角三角形，

∴PB⊥PA，PB⊥PC，則PB⊥平面PAC，

而PB平面PAB，則平面PAB⊥平面PAC，

在平面PAB中，過E作EF⊥PA，則EF⊥平面PAC，

即F為E在平面PAC內的正投影．

由于PA=PB=PC=6，故AB=BC=AC=6 ，

易知PG= =3 ，GD= = ，由勾股定理得PD= =2 ，

【解析】（Ⅰ）根據題意分析可得PD⊥平面ABC，進而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，結合兩者分析可得AB⊥平面PDE，進而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質可得證明；（2）由線面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC，進而由于PB平面PAB，可得平面PAB⊥平面PAC，由此可以在平面PAB中，過E作EF⊥PA，可得F為E在平面PAC內的正投影．
進而由棱錐的體積公式計算可得答案．；本題考查幾何體的體積計算以及線面垂直的性質、應用，解題的關鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關系．