Question

已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，離心率為

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M、N，當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，利用橢圓的一個頂點為A（0，-1），離心率為

6

3

，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設P為弦MN的中點，直線與橢圓方程聯立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個交點，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推導出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點在x軸上，故設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
又橢圓的一個頂點為A（0，-1），離心率為

6

3

∴b=1，e=

c

a

=

6

3

即b=1，c=

6

3

a…（2分）
又a²=b²+c²∴a2=1+

2

3

a2…（3分）
∴a²=3…（4分）
∴橢圓的方程為：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）設P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P為弦MN的中點，
直線y=kx+m與橢圓方程聯立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韋達定理，可得P（

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴kAP•k=

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

•k=-1
∴2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞

1

2

∴

1

2

＜m＜2．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．