Question

在△ABC中，分別是,的中點，且，若恒成立，則的最小值為（ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析試題分析：如圖所示：

∵3AB=2AC，∴AC=AB，
又E、F分別為AC、AB的中點，
∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（AB）²-2AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（AB）²+（AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
∴=,
∴=.
∵當cosA取最小值時，最大，
∴當A→π時，cosA→-1，此時 達到最大值，最大值為 ,
故 恒成立，t的最小值為.選A.
考點：余弦定理，余弦函數的性質，不等式恒成立問題。
點評：中檔題，不等式恒成立問題，往往通過“分離參數”，轉化成求函數的最值問題，解答本題的關鍵是，熟練掌握余弦定理，利用余弦定理建立三角形的邊角關系。