Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是邊長為3的正方形，對角線AC與BD相交于點O，點F在線段AH上且，BE與底面ABCD所成角為.

（1）求證：AC⊥BE；

（2）M為線段BD上一點，且，求異面直線AM與BF所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）推導出DE⊥AC，AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE.由此能證明AC⊥BE.

（2）推導出∠DBE為直線BE與平面ABCD所成的角，∠DBE，在DE上取一點G，使DGDE，連接FG，則四邊形FBCG為平行四邊形，BF∥CG，在BD上取一點N，使DN＝BM，推導出AM∥CN，從而∠GCN（或其補角）為異面直線AM與BF所成的角，由余弦定理能求出異面直線AM與BF所成角的余弦值.

解：（1）證明：因為在長方體ABCD﹣HKLE中，有DE⊥平面ABCD，

所以DE⊥AC，

因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

又BD∩DE＝D，從而AC⊥平面BDE.

而BE平面BDE，

所以AC⊥BE.

（2）因為在長方體ABCD﹣HKLE中，有BE與平面ABCD所成角為，

由（1）知∠DBE為直線BE與平面ABCD所成的角，

所以∠DBE，

所以.

由AD＝3可知，

所以AH＝3，

又2，

即AFAH，

故，

在DE上取一點G，使DGDE，

連接FG，

則在長方體ABCD﹣HKLE中，有FG∥AD∥BC，

且FG＝AD＝BC，

所以四邊形FBCG為平行四邊形，

所以BF∥CG，

在BD上取一點N，使DN＝BM，

因為BM，BD＝3，

所以DN＝BM，

所以在正方形ABCD中，ON＝OM，

所以△CON≌△AOM，

所以∠CNO＝∠，

所以AM∥CN，

所以∠GCN（或其補角）為異面直線AM與BF所成的角，

在△GNC中，GC＝BF，

在△AMB中，由余弦定理得AM，

則CN＝AM，

又GN2，

在△GNC中，由余弦定理得：

cos∠GCN.

故異面直線AM與BF所成角的余弦值為.