Question

（本小題滿分14分）

已知函數，，它們的定義域都是，其中，

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，對任意，求證：

（Ⅲ）令，問是否存在實數使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調增區間為，減區間為

（Ⅱ）證明見解析。

（Ⅲ）

【解析】21 （本小題滿分14分）

（Ⅰ）當時，，  

 ∴                      -----------2分

令  ∴    令  ∴

∴的單調增區間為，減區間為            -----------4分

（Ⅱ）由（I）知在的最小值為        -----------5分

又

在區間上成立

∴在單調遞增，故在區間上有最大值 -----------7分

要證對任意，

即證

即證，即證

故命題成立                                     -----------9分

（Ⅲ），

∴

（1）當時，，∴在單調遞減，

故的最小值為，舍去                -----------11分

（2）當時，由，得

① 當時，，

∴在單調遞減，故的最小值為，

∴，舍去

②當時，，

∴在單調遞減，在單調遞增，

故的最小值為，，滿足要求  -----------12分

（3）當時，在上成立，

 ∴在單調遞減，故的最小值為∴，舍去

綜合上述，滿足要求的實數                  -----------14分