Question

已知函數(shù)滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個實數(shù)根．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*．求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）定義對于（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，令設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：S_n＞ln（n+1）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知2a+b=2．當△=（b-1）²=0時，b=1，，；當△=（b-1）²≠0時，a=1，f（x）=1（x≠0）．
（Ⅱ）由題意知當f（x）=1時，a_n+1=1，不合題意，所以，，∴，由此可得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知，，所以，，再用分析法證明S_n＞ln（n+1）．
解答：解：（Ⅰ）由，得2a+b=2；
又，有且僅有一個解，
即ax²+（b-1）x=0，有唯一解滿足ax+b≠0．
∵a≠0，∴當△=（b-1）²=0時，b=1，x=0，則，此時，
又當△=（b-1）²≠0時，，因為ax₁+b=1≠0，
所以ax₂+b=b=0，則a=1，此時
綜上所述，，或者f（x）=1（x≠0）；

（Ⅱ）a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*，當f（x）=1時，a_n+1=1，不合題意，
則，，
∴，
則，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴，則，所以
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=ln（n+1），則c₁=T₁=ln2＜lne=1
當n≥2時，，要證明
令，只要證明：lnt＜t-1，其中t＞1．
令g（x）=x-1-lnx（x≥1），則，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則當x＞1時，g（x）＞g（1）=0，即x-1＞lnx（x＞1），所以，
則．
點評：也可用數(shù)學歸納法證明，為此，先證明，即證：lnt＜t-1，其中t＞1．