Question

已知拋物線S的頂點在坐標原點,焦點在x軸上,△ABC的三個頂點都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

(1)求拋物線S的方程;

(2)若O是坐標原點,P、Q是拋物線S上的兩個動點,且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.

Answer 1

解:(1)設拋物線S的方程為y²=2px..

由可得2y²+py-20p=0..

由Δ＞0,有p＞0,或p＜-160.設B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),則y₁+y₂=,

∴x₁+x₂=(5)+(5)=10=10+..

設A(x₃,y₃),由△ABC的重心為F(,0),則=,=0,

∴x₃=-10,y₃=.∵點A在拋物線S上,∴()²=2p(-10).∴p=8..

∴拋物線S的方程為y²=16x..

(2)當動直線PQ的斜率存在時,設PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0,.

設P(x_P,y_P),Q(x_Q,y_Q),∵OP⊥OQ,∴k_OP·k_OQ=-1.∴·=-1.

∴x_Px_Q+y Py_Q=0.

將y=kx+b代入拋物線方程,得ky²-16y+16b=0,

∴y_Py_Q=.從而x_Px_Q==,∴+=0.

∵k≠0,b≠0,∴b=-16k.

∴動直線方程為y=kx-16k=k(x-16).此時動直線PQ過定點(16,0).

當直線PQ的斜率不存在時,顯然PQ⊥x軸,又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.

由得到P(16,16),Q(16,-16).

此時直線PQ亦過點(16,0).

綜上所述,動直線PQ過定點M(16,0).