Question

．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是________。

Answer 1

解析考點：函數恒成立問題；函數奇偶性的性質．
分析：先根據函數奇偶性定義，解出奇函數f（x）和偶函數g（x）的表達式，將這個表達式不等式af（x）+g（2x）≥0，通過變形可得a≥- ，再通過換元，討論出右邊在x∈（0，1]的最大值，可以得出實數a的取值范圍．
解：∵f（x）為定義在R上的奇函數，g（x）為定義在R上的偶函數
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，結合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=（2^x-2^-x），g（x）=（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化簡為(2^x-2 ^-x)  + (2 ^2x+2^-2x)  ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此將上面不等式整理，得：a≥-=-
令t=2^x-2^-x，則t＞0
∴-=-(t+)≤ -2
因此，實數a的取值范圍是a≥- 2
故答案為[-2，+∞)