Question

已知函數y=

kx2-6kx+k+8

的值域為[0，+∞），則k的取值范圍是

k≥1

．

Answer 1

分析：根據根式函數的值域為[0，+∞），則[0，+∞）⊆{y|y=kx²-6kx+k+8}，然后確立對應判別式△≥0（k≠0），即可求解k的取值范圍．

解答：解：∵函數y=

kx2-6kx+k+8

的值域為[0，+∞），
∴[0，+∞）⊆{y|y=kx²-6kx+k+8}，
若k=0，則函數y=kx²-6kx+k+8=8，此時函數y=

kx2-6kx+k+8

=

8

，不滿足值域是[0，+∞）．
若k＞0，則△≥0，
即△=36k²-4k（k+8）≥0，
即k²-k≥0，解得k≥1或k≤0．
∴k≥1．
若k＜0，則函數y=

kx2-6kx+k+8

的值域不會是[0，+∞），
∴k＜0，不成立．
故k的取值范圍是k≥1．
故答案為：k≥1．

點評：本題主要考查函數值域的應用，根據函數的值域轉化為二次函數的取值問題是解決本題的關鍵，注意要對進行分類討論．