Question

（理）（1）求證：m

C

m n

=n

C

m-1 n-1

，(m，n∈N*，n≥m≥2)；
（2）現共有4男生，3女生排成一排，
①女生不站在兩端，共有多少種排法；
②男生都排在一起，共有多少種排法；
③女生互不相鄰，共有多少種排法； 
④男生A，B不相鄰，男生C，D要相鄰，共有多少種排法．

Answer 1

分析：（1）利用組合數的計算公式即可證明；
（2））①特殊位置優先考慮：先選2名男生排在兩頭并且可以交換位置有

A

2 4

種方法，剩下的2名男生與3名女生全排列可有

A

5 5

種方法，由分步乘法原理即可求出；
②相鄰用捆綁法：男生都排在一起可以交換位置有

A

4 4

種方法，與3名女生全排列有

A

4 4

種方法，由分步乘法原理即可求出；
③不相鄰用插空法：先把4名男生排好但是可以交換位置有

A

4 4

種方法，而4名男生之間的3個空隙加上兩邊共有5個空隙，選出3個插入3名女生可有

A

3 5

種方法，由分步乘法原理即可得出；
④相鄰用捆綁法、不相鄰用插空法：把2名C，D男生捆綁成一個元素但是可以交換位置與3名女生全排列有

A

2 2

A

4 4

種方法，把2名男生A，B插入上述4個元素之間及其兩邊共5個空隙中可有

A

2 5

種方法，由分步乘法原理即可得出．

解答：解：（1）左邊=

m A m n

m!

=

A m n

(m-1)！

，右邊=

n A m-1 n-1

(m-1)!

=

A m n

(m-1)!

．
∴左邊=右邊．
（2）①先選2名男生排在兩頭并且可以交換位置有

A

2 4

種方法，剩下的2名男生與3名女生全排列可有

A

5 5

種方法，由分步乘法原理共有

A

2 4

A

5 5

=1440種方法；
②男生都排在一起可以交換位置有

A

4 4

種方法，與3名女生全排列有

A

4 4

種方法，由分步乘法原理共有

A

4 4

A

4 4

=576種方法；
③先把4名男生排好但是可以交換位置有

A

4 4

種方法，而4名男生之間的3個空隙加上兩邊共有5個空隙，選出3個插入3名女生可有

A

3 5

種方法，由分步乘法原理共有

A

4 4

A

3 5

=1440種方法；
④把2名C，D男生捆綁成一個元素但是可以交換位置與3名女生全排列有

A

2 2

A

4 4

種方法，把2名男生A，B插入上述4個元素之間及其兩邊共5個空隙中可有

A

2 5

種方法，由分步乘法原理共有

A

2 2

A

4 4

A

2 5

=960種方法．

點評：熟練掌握組合數排列數的計算公式、特殊位置優先考慮、相鄰用捆綁法、不相鄰用插空法、及其分步乘法原理設解題的關鍵．