Question

（本小題滿分14分）

在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設(shè)三個圓柱體積之和為。

（１）  求f(h)的表達式，并寫出h的取值范圍是 ；

（２）  求三個圓柱體積之和V的最大值；

 

Answer 1

【答案】

(1)的取值范圍是；⑵三個圓柱體積和的最大值為．

【解析】本試題是以半球為背景，表示圓柱體的高度的關(guān)系式，以及體積的運用，并結(jié)合導數(shù)來求解最值問題。

（1）利用球的半徑和圓柱的高度得到關(guān)于r與半徑的關(guān)系式，從而得到高度的表示。

（2）而圓柱體的體積就是底面積乘以高，那么三個柱體的體積可以借助于第一問中的高度表示出來，再集合導數(shù)的思想求解體積的最值。

解:(1)自下而上三個圓柱的底面半徑分別為：

．       ………………………………3分

它們的高均為，所以體積和

 6分

因為，所以的取值范圍是；  ………………………………………7分

⑵ 由得，     ………………9分

又，所以時，；時，．11分

所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以時，取最大值，的最大值為．  ………13分

答：三個圓柱體積和的最大值為． …………………………………………14分