Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=CC₁=2，E為棱AA₁的中點，F為棱BB₁上的動點．
（Ⅰ）試確定點F的位置，使得D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求CF與平面EFD₁所成角的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為E為棱AA₁的中點，當F為棱BB₁上的中點，
因為直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為直角梯形，
∠BAD=∠ADC=90°，所以，點F在平面A₁AD內的射影為點E，
直線DE?平面A₁AD，
而D₁E⊥DE，
由三垂線定理可知，DF⊥D₁E，
∴D₁E⊥DF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，F為棱BB₁上的中點，
∴EF∥AB，AB∥CD，
∴CD∥EF，CD?平面EFD₁，EF?平面EFD₁
∴CD∥平面EFD₁，
∴點C到平面EFD₁的距離等于點D到平面EFD₁的距離，
∵AE=1，AD=1，DE=，
即點C到平面EFD₁的距離為．
CF==．
∴sinθ==，又，
∴θ=arcsin．
CF與平面EFD₁所成角的大小為arcsin．
分析：（Ⅰ）F為棱BB₁上的中點，通過三垂線定理即可證明D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，通過點C到平面EFD₁的距離等于點D到平面EFD₁的距離的轉化，然后求CF與平面EFD₁所成角的大小．
點評：本題是中檔題，考查直線與直線垂直的證明，直線與平面所成的角的求法，考查空間想象能力，定理的靈活運用．