Question

從正反面分別寫有0和1，2和3，4和5，6和7的4張卡片中任取3張，再將每張卡片的某一面朝上，依次排成一排，其中2，3，4，5，7 不能倒置，0和1倒置后仍是0和1，6可倒置為9．
（1）用三張卡片組成三位整數，所有可能得到的三位整數有幾個？
（2）用三張卡片組成數列，求三個數字依次成一個等差數列的概率．

Answer 1

分析：先記有0和1的為A卡，寫有6和7的為B卡，另兩張為C卡；
（1）根據題意，分有無A卡2種情況討論，由分步計數原理計算每種情況下的三位數的個數，再由分類計數原理將兩種情況下的三位數的個數相加，即可得答案；
（2）由數列的性質分析可得B卡正反兩面有3種用法，其余的卡都有2種用法，分有無B卡2種情況討論，由分步計數原理計算可得數列的個數，將其相加可得全部數列的情況數目，列舉可得三個數依次等差數列的情況數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案．

解答：解：記寫有0和1的為A卡，寫有6和7的為B卡，另兩張為C卡；
（1）根據題意，三位數的首位不能為0，分2種情況討論：
①無A卡時，一張B卡和兩張C卡可以作任意的排列，并且每一張卡的正反兩面都可用，其中B卡的兩個面有3種用法，故可組成

A

3 3

×3×2×2=72個三位數； 
②有A卡時，再分有無B卡討論：
（Ⅰ）有B卡的，A卡在百位時：有C₂¹A₂²×3×2=24個，A卡不在百位時，有C₂¹C₂¹A₂²×3×2×2=96個，
（Ⅱ）無B卡的，A卡在百位時：有A₂²×2×2=8個，A卡不在百位時，有C₂¹A₂²×2×2×2=32個，
故共有N=72+24+96+8+32=232個三位整數．
（2）數列的首項可以為0，
故A卡、B卡、C卡都不受排列位置的限制，但B卡正反兩面有3種用法，其余的卡都有2種用法．
任選3張卡排成一列，有B卡時可得C₃²×A₃³×3×2×2=216個，
無B卡時有A₃³×2×2×2=48個，共有216+48=264個，
其中三個數依次等差數列的情況有0，2，4和4，2，0；0，3，6和6，3，0；1，3，5和5，3，1；1，4，7和7，4，1；2，4，6和6，4，2；3，5，7和7，5，3；1，5，9和9，5，1；共14個；
故所求的概率為P=

14

264

=

7

132

．

點評：本題考查排列、組合的應用，分步、分類計數原理的應用以及等可能事件的概率計算；對于（1）、（2）要注意三位數與排列的區別．