Question

已知雙曲線C：x²-y²=1，l：y=kx+1
（1）求直線L的斜率的取值范圍，使L與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯立直線和雙曲線方程，分二次項系數為0和不為0討論，當二次項系數不等于0時，再由判別式進一步討論求解；
（2）假設存在，設出直線與雙曲線的兩個交點，代入雙曲線方程后利用點差法求斜率，從而得到假設不正確．

解答：解：（1）聯立方程組

y=kx+1 x2-y2=1

，
消去y得，（1-k²）x²-2kx-2=0．
當1-k²=0，即k=±1時，x=±1；
當1-k²≠0，k≠±1時，△=（-2k）²+4-2（1-k²）=8-4k²  
由△＞0，即8-4k²＞0，得 -

2

＜k＜

2

由△=0，即8-4k²=0，得k=±

2

由△＜0，即8-4k²＜0，得k＜-

2

或k＞

2

綜上知：k∈(-

2，

-1)∪(-1，1)∪(1，

2

)時，直線l與曲線C有兩個交點．
k=±

2

時，直線l與曲線C切于一點，k=±1時，直線l與曲線C交于一點．
k＜-

2

或k＞

2

直線l與曲線C沒有公共點．
（2）不存在．
假設以Q點為中點的弦存在，
當過Q點的直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
當過Q點的直線的斜率存在時，設斜率為k．
聯立方程

x12-y12=1 x22-y22=1

兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
所以過點Q的直線的斜率為k=1，
所以直線的方程為y=x，即為雙曲線的漸近線
與雙曲線沒有公共點．
即所求的直線不存在．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點個數，訓練了利用點差法求中點弦所在直線的斜率，屬中檔題．