Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)F是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上

求橢圓的方程；

已知斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，直線AM與BM的斜率乘積為，若在橢圓上存在點(diǎn)N，使，求的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

先求出的值，即可求出的值，根據(jù)離心率求出的值，即可得到橢圓方程

設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，由，根據(jù)直線與的斜率乘積為，求出，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出和，表示出三角形的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．

點(diǎn)在拋物線上，

，

解得，

橢圓的右焦點(diǎn)為，

，

橢圓：的離心率為，

，

，

，

橢圓的方程為，

設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，

由，消y可得，

，，

，

，直線AM與BM的斜率乘積為，

，

解得，

直線l的方程為，線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

由弦長(zhǎng)公式可得，

，

垂直平分線段AB，

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線ON的方程為，

同理可得，

，

當(dāng)時(shí)，的面積也適合上式，

令，，，

則，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為．